Lexia: Momento lineal.

Supongamos que hay un cañón con una bala sobre una superficie sin fricción (hielo) como se observa en el esquema (momento A).

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La masa total del cañón con la bala es M1.y el sistema se mueve todo con la misma velocidad hacia la derecha (vo). En el momento B, el cañón (m2) dispara la bala (m1). La bala sale disparada hacia la derecha con rapidez v1, mientras que el cañón se mueve hacia la izquierda como reacción al disparo con rapidez v2. Como no hay ningún agente externo que haga un trabajo para acelerar o desacelerar el sistema, significa que solo hay una fuerza “interna” que dispara la bala y otra fuerza “interna” como reacción al disparo que se da en el cañón (tercera ley de Newton).

Eso quiere decir que hay una fuerza F21 hacia la derecha que el cañón le provocó a la bala y como reacción una fuerza F12 hacia la izquierda que la bala le provocó al cañón. Por lo tanto por ser fuerzas internas:

$\overset{⇀}{F_{12}} + \overset{⇀}{F_{21}} = 0$

Pero de acuerdo a la segunda ley de Newton:

$F_{12} = m_{2} a_{2}$

$F_{21} = m_{1} a_{1}$

Entonces:

$m_{1} a_{1} + m_{2} a_{2} = 0$

También la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

$m_{1} \frac{d v_{1}}{d t} + m_{2} \frac{d v_{2}}{d t} = 0$

La derivada puede salir:

$d \frac{(m_{1} v_{1})}{d t} + d \frac{(m_{2} v_{2})}{d t} = 0$

Es decir:

$\frac{d (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2})}{d t} = 0$

Si esta derivada vale cero es porque:

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} : e s u n a c o n s \tan t e$

Por lo tanto cuando no existan fuerzas externas sobre un sistema de dos partículas, la cantidad de movimiento de todo el sistema permanece constante en todo momento.

A la cantidad mv se le llama "Cantidad de Movimiento" o " Momentum Lineal" y se denota por la letra "P"

$P = m v$

Esto significa que:

$\sum_{i = 1}^{n} P_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (m_{i} v_{i}) : c o n s \tan t e$

En un sistema de dos (1 y 2) partículas entonces, se cumplirá que antes (A) y después (B) de un evento, la cantidad de movimiento o momentum en el momento A, será igual a la cantidad en el momento B. Es decir:

$m_{1} v_{1 A} + m_{2} v_{2 A} = m_{1} v_{1 B} + m_{2} v_{2 B}$

Ejemplo 1. Dos objetos de 50 gramos y 75 gramos se mueven en la dirección del eje x. El primero tiene una velocidad de 3 m/s y el segundo 2 m/s. ¿Cuál de los dos tiene mayor Momentum (cantidad de movimiento)? $m_{1} = 0.05 k g; v_{1} = 3 m / s; m_{2} = 0.075 k g; v_{2} = 2 m / s$

$P_{1} = m_{1} v_{1} = (0.05 k g) (3 m / s) = 0.15 k g . m / s (N * m)$

$P_{2} = m_{2} v_{2} = (0.075 k g) (2 m / s) = 0.15 k g . m / s (N * m)$

Ambos tienen la misma cantidad de movimiento. Note que las unidades de cantidad de movimiento o Momentum en el sistema internacional son Newton*segundo ó kg*m/s.

Ejemplo 2. Dos pelotas objetos de 2kg y 1kg se mueven en línea recta pero en sentido contrario. El primero se mueve hacia la derecha con una rapidez de 2.5 m/s y el segundo se mueve hacia la izquierda con una rapidez de 3m/s. Chocan de frente y después de la colisión, ambos objetos quedan pegados y se mueven juntos. ¿Cuál será la magnitud y dirección de la velocidad después del choque?.

Como no existen fuerzas externas ni fuerzas de fricción, podemos decir que la cantidad de movimiento del sistema permanece constante antes y después del choque.

Antes del choque (momento A):

$P_{A} = P_{1 A} + P_{2 A}$

$P_{A} = m_{1} v_{1 A} + m_{2} v_{2 A}$

$P_{A} = (2 k g) (2.5 m / s) + (1 k g) (- 3 m / s) = 2 N * s$

Observe que la velocidad del bloque 2 es negativa porque se dirige hacia la izquierda.

Después del choque se mueven juntos (momento B):

$m = m_{1} + m_{2} = 3 k g$

$P_{B} = m v$

Como:

$P_{A} = P_{B}$

$2 N * s = m v$

$\frac{2 N * s}{m} = v$

$\frac{2 N * s}{3 k g} = v$

$\frac{2}{3} \frac{k g * m / s^{2} * s}{k g} = v$

$v = \frac{2}{3} m / s = 0.67 m / s$

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G. 01

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